MATEMATICAS : agosto 2015

martes, 18 de agosto de 2015

MATRICES

RESEÑA HISTORICA

El origen de las matrices es muy antiguo. Los cuadrados latinos y los cuadrados mágicos se estudiaron desde hace mucho tiempo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C.
Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas. En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés Seki Kōwa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693.
Los "cuadrados mágicos" eran conocidos por los matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos del siglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectos de las matemáticas combinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino de China. Los primeros "cuadrados mágicos" de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el 983, en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza (Rasa'il Ihkwan al-Safa).
Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kowa y Leibniz para facilitar la resolución de ecuaciones lineales, a finales del siglo XVII, Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX.
Fue James Joseph Sylvester quien utilizó por primera vez el término « matriz » en 1848/1850.
En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Cayley, Hamilton, Hermann Grassmann, Frobenius, Olga Taussky-Todd y John von Neumann cuentan entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de las matrices. En 1925, Werner Heisenberg redescubre el cálculo matricial fundando una primera formulación de lo que iba a pasar a ser la mecánica cuántica. Se le considera a este respecto como uno de los padres de la mecánica cuántica.

CLASES DE MATRICES

DEFINICION
En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. La notacion de una matriz

\mathbf{A}

tiene la forma:

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix}$

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar transformaciones lineales dada una base. En este último caso, las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.
Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES DE LAS MATRICES

IGUALDAD ENTRE MATRICES

Dos matrices son iguales si tienen las mismas dimensiones y cada elemento de la primera es igual al elemento de la segunda que ocupa su misma posición. Es decir:
M_m,n
POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS

En este capítulo vamos a tratar de exponer distintas técnicas para hallar las potencias naturales de matrices cuadradas. Esta cuestión es de gran importancia y tiene muchas aplicaciones prácticas. Como vamos a poder observar el cálculo de potencias de matrices cuadradas lleva consigo un número muy elevado de operaciones. Es conveniente encontrar estrategias adecuadas que nos permitan calcular de modo eficiente las potencias naturales de matrices cuadradas

DETERMINANTE

Determinantes de una matriz
Dada una matriz cuadrada

se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número:

, con

(S_n es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n}, e i(s) es la signatura de la permutación)
También se suele escribir:

MÉTODOS PARA ENCONTRAR LA DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

El determinante de una matriz suele utilizarse con frecuencia en operaciones de cálculo, álgebra lineal y geometría descriptiva a un nivel más complejo. Fuera del mundo académico, los ingenieros y los programadores gráficos utilizas las matrices y sus determinantes constantemente.Si sabes cómo hallar el determinante de una matriz de 2x2, las únicas herramientas que tendrás que utilizar serán la suma, la resta y la multiplicación.

jueves, 13 de agosto de 2015

NUMEROS COMPLEJOS

RESEÑA HISTORICA

El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no euclídea, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.

Los números complejos

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa con la notación

\scriptstyle \mathbb{C}

, siendo

\scriptstyle \mathbb{R}

el conjunto de los números reales se cumple que

\scriptstyle \mathbb{R}\sub\mathbb{C}

(

\scriptstyle \mathbb{R}

está estrictamente contenido en

\scriptstyle \mathbb{C}

). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilitación de cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra — pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

UNIDAD IMAGINARIA

En matemáticas, un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a cero, por ejemplo:

5i\

es un número imaginario, así como

i\

-i\

son también números imaginarios. En otras palabras, es un número de la forma:

z = x + y \, i \; : \quad x = 0

Un número imaginario puede describirse como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, en donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1 :

$i = \sqrt{-1}$

Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a

\sqrt{-1}

el nombre de i, por imaginario, de manera despectiva dando a entender que no tenían una existencia real. Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que

\sqrt{-1}

era una especie de anfibio entre el ser y la nada.
En ingeniería eléctrica y campos relacionados, la unidad imaginaria es a menudo escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.

FORMA VECTORIAL DE NUMEROS COMPLEJOS

Ahora que sabemos trabajar con los números complejos y las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división, vamos a introducirnos en la representación de dichos números en el plano complejo. Para los números reales, dibujábamos una recta y los íbamos colocando ordenadamente, es decir:
imagen

Para representar gráficamente un número complejo, debemos dibujarlos en el plano complejo. Éste está formado por un eje real y un eje imaginario. Sobre el eje real representaremos la parte real del número complejo, mientras que en el eje imaginario representaremos la parte imaginaria. Dichos ejes los dibujaremos perpendiculares y secantes en el cero, que tiene parte real e imaginaria nula.

Ejemplo

Veamos un ejemplo del plano complejo: imagen

Un número complejo

z en forma binómica se representará entonces en un plano complejo como el anterior de la siguiente forma:
Tenemos el complejo

z=a+bi donde:

a es cualquier número real, y se le llama parte real de z.
b es cualquier número real, y se le llama la parte imaginaria de z.

Así, para representar un

z=a+bi se dibuja en el plano el vector asociado a

z que es el vector con origen

(0,0) y extremo el punto

(a,b).
Es decir, se toma la parte real del complejo y se dibuja en el eje real. Se toma la parte imaginaria y se dibuja en el eje imaginario. Se trazan paralelas a los ejes que pasen por cada uno de los puntos marcados y la intersección de dichas paralelas es el número que queríamos representar.
imagen

Ejemplo

Por ejemplo, si queremos representar el imaginario

z=2−i.
Primero marcamos en el eje real el

2.
Luego marcamos en el eje imaginario el

−i.
Trazamos dos rectas:

una paralela al eje real que pase por el punto −i.
una paralela al eje imaginario que pase por el punto 2.
El punto intersección de estas dos rectas es el número z que queríamos dibujar.
Gráficamente es:

En definitiva lo que estamos haciendo es que a cada número complejo que viene dado por la forma

z=a+bi le asociamos un vector en el plano que es exactamente el vector

(a,b).

Ejemplo

Por ejemplo, el complejo

3+9i es el asociado al vector del plano

(3,9) y el complejo

−5i es el asociado al vector

(0,−5).

Anteriormente hemos dicho que:
Se define el conjugado de un número imaginario como el número

z¯=a−ib, en este caso, para representarlo tomaremos el vector asociado

(a,−b).
El opuesto de un número imaginario es

zop=−z=−a−bi, que tendrá vector asociado el

(−a,−b).
Y el inverso de un número complejo es

z−1=aa2+b2−ba2+b2i que tendrá vector asociado el

(aa2+b2,−ba2+b2).
Si los dibujamos en el plano complejo estos quedan:

Conjugado de un Numero Complejo

Se llama conjugado de un número complejo al número complejo que se obtiene por simetría del dado respecto del eje de abscisas.
Representando el número complejo a + bi y haciendo la correspondiente simetría, se tiene que su conjugado es a - bi .
Dado un número complejo, su conjugado puede representarse poniendo encima del mismo una línea horizontal.
Dado un número complejo (x,y) el complejo conjugado sería (x,-y).
Si al número complejo lo representamos por n; n = (x ,y) el complejo conjugado se representa por n; n = (x ,-y) con una raya encima del número.

Propiedades de los Conjugados

· Primera propiedad
El conjugado del conjugado de un complejo z es el propio z.
Demostración:
si z = a + bi se tiene que = a - bi , de donde, = a + bi = z
· Segunda propiedad
Dados dos números complejos cualesquiera z y z' , el conjugado de su suma es igual a la suma de sus conjugados.
Demostración:
Tomando : z = a + bi y z' = c + di
Se obtiene:
a + bi y ' = c - di
Con lo que:
(a + bi ) + (c - di ) = (a + c) + (-b - d)i
· Tercera propiedad
El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados de dichos números:
Demostración:
Si z = a + bi y z = c + di
Se tiene que z · z = (ac - bd ) + (ad + bc)i
Cuyo conjugado es (ac - bd) - (ad + bc)i .
Calculando por otro lado el producto de los conjugados, resulta que
(a - bi )( c - di ) = ( ac - bd ) + ( -ad - bc) i .
· Cuarta propiedad
Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales.
Demostración:
Sea un complejo a + bi que coincida con su conjugado.
Esto equivale a que:
a + bi = a - bi
Pero esto sólo ocurre si b = 0, es decir si a + bi es un número real.
· Quinta propiedad
La suma y el producto de un complejo y su conjugado son, ambos, números reales.
Demostración: (a + bi ) + (a - bi ) = 2a
(a + bi ) (a - bi ) = a2 - (bi )2 = a2 + b2

Complejo opuesto

Dado un número complejo (x,y) el complejo opuesto sería (-x,-y)
Si al número complejo lo representamos por n, el complejo opuesto se representa por n'.
Si z = a +bi
El opuesto de z seria -z = -a - b
El Conjugado de z seria z = a + bi

OPERACIONES

Igualdad

Dos números complejos son iguales cuando sus partes reales y sus partes imaginarias son iguales entre sí.

a + bi = c + di quiere decir a = c y b = d

Ejemplo:

Determina para qué valores de x e y son iguales los números complejos: z = x -3 + 5i,

w = 4 + (y + 4)i

Igualamos por separado las partes reales x -3 =4 y se obtiene x =7 y las partes imaginarias

5 = y + 4, se obtiene y = 1.

Luego para que sean iguales debe cumplirse que x = 7 e y = 1.

Operaciones con Números Complejos

Suma de Números Complejos
Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su suma como:

(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i

Propiedades de la Suma de Números Complejos
La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:

· Conmutativa
Dados dos números complejos a + bi y c + di se tiene la igualdad:

(a + bi ) + (c + di ) = (c + di ) + (a + bi )

Ejemplo:

(2 - 3i ) + (-3 + i ) = (2 - 3) + i (-3 + 1) = -1 - 2i

(-3 + i ) + (2 - 3i ) = (-3 + 2) + i (1 - 3) = -1 - 2i

· Asociativa
Dados tres complejos a + bi, c + di y e + fi , se cumple:

[(a + bi ) + (c + di )] + (e + fi ) = (a + bi ) + [(c + di ) + (e + fi )]

Ejemplo:

[(5 + 2i ) + (3 - 4i )] + (-9 + 8i ) = (8 - 2i ) + (-9 + 8i ) = -1 + 6i

(5 + 2i ) + [(3 - 4i ) + (-9 + 8i )] = (5 + 2i ) + (-6 + 4i ) = -1 + 6i

· Elemento neutro
El elemento neutro es 0 + 0i , puesto que

(a + bi ) + (0 + 0i ) = (a + 0) + i (b + 0) = a + bi

El número 0 + 0i se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero».

· Elemento simétrico
El elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + bi es (- a - bi ):

(a + bi ) + (-a - bi) = 0 + 0i = 0

Ejemplo:

El simétrico de 2 - 3i es -2 + 3i pues (2 - 3i ) + (-2 + 3i ) = 0

Producto de Números Complejos

La multiplicación se efectúa igual que si fuesen números reales, pero teniendo en cuenta que la multiplicación de complejos no es equivalente al producto escalar de vectores.
Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su producto como:

(a + bi ) (c + di ) = (ac - bd) + (ad + bc)i

El producto puede hacerse operando con i como si fuese un número real y teniendo en cuenta que i 2 = -1.
(a + bi )(c + di ) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac + i(ad + bc) + bd(-1) = ac - bd + i (ad + bc)
Pero para comprobar resultados, podemos representar los complejos que se multiplican por sus vectores, y el resultado del producto por el vector correspondiente al complejo producto.

Propiedades del Producto de Complejos
· Conmutativa
Dados dos complejos a + bi y c + di , se cumple que:

(a + bi ) (c + di ) = (c + di ) (a + bi )

· Asociativa
Dados los complejos a + bi, c + di y e + fi se cumple que:

[(a + bi ) (c + di )](e + fi ) = (a + bi ) [(c + di ) (e + fi )]

· Elemento neutro
El elemento neutro del producto es 1 + 0 ·i = 1, puesto que para cualquier complejo a + bi , (a + bi ) (1 + 0 · i ) = (a + bi ) · 1 = a + bi . El elemento neutro es el uno.
· Distributiva del producto con respecto a la suma
Dados tres números complejos a + bi , c + di y e + fi , se cumple:

(a + bi ) [(c + di ) + (e + fi )] = (a + bi ) (c + di ) + (a + bi ) (e + fi )

Ejemplo:

(1 - 2i ) [3i + (2 - 7i )] = (1 - 2i ) (2 - 4i ) = 2 - 4i - 4i + 8i 2 = -6 - 8i

(1 - 2i ) 3i + (1 - 2i ) (2 - 7i ) = (3i - 6i 2) + (2 - 7i - 4i + 14i 2) = (3i + 6) + (-12 - 11i )
= - 6 - 8i
El conjunto de los números complejos, por contar con todas las propiedades anteriores para la suma y para el producto, se dice que es un anillo conmutativo.
El conjunto de los números complejos se simboliza por C, o también (C, +, ·).
· Elemento simétrico respecto del producto
Dado un complejo cualquiera a + bi , distinto de 0 + 0i , existe otro complejo que, multiplicado por él, da el elemento neutro del producto, es decir, 1 + 0i .
Demostración:
Se intentará calcular el inverso de a + bi , x + yi .
Ha de verificarse que (a + bi ) (x + yi ) = 1 + 0i

(a + bi ) (x + yi ) = (ax - by) + (ay + bx)I

Por tanto ha de ser:

ax - by = 1, multiplicando por a se tiene: a2x - aby = a

bx + ay = 0, multiplicando por b se tiene: b2x + aby = 0

El conjunto de los números complejos es un cuerpo conmutativo con la suma y el producto definidos.

División de números complejos en forma binómica

Para dividir números complejos en forma binómica se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador y se realizan las operaciones correspondientes.

División de números complejos en forma polar

La división de dos números complejos es otro número complejo tal que:

Su módulo es el cociente de los módulos.

Su argumento es la diferencia de los argumentos.

6_45° : 3_15° = 2_30°

domingo, 9 de agosto de 2015

Unidad 5 Trigonometria

HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA

La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.

ANGULOS Y SUS MEDIDAS

Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.

El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso contrario.

Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades:

Sistema centesimal:

Sistema de 400 grados, su unidad es el grado centesimal

Grado sexagesimal (°):

Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de sus partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal.

Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').

Sistema Internacional:

Es un ángulo con vértice en el centro de una circunferencia y cuyos lados abarcan un arco de longitud igual al radio de la circunferencia; en este sistema se le conoce como medida angular unidad el radián, con abreviatura rad. Se utiliza en geometría, cálculos y análisis matemático, por ejemplo en sistema de coordenadas polar, etc.

2 Radián (rad):

Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio.

Ejemplo:

2π rad = 360°

π rad = 180°

30º

rad

/3 rad

Conversión de ángulos

El tema es de suma importancia, y en ese sentido comienzo por decirte que es de suma importancia que tengas siempre a mano y sepas bien cómo usar la calculadora científica, tanto para ir comprobando y ejercitando sobre los ejemplos que citaremos en este post como para resolver todas las situaciones problemáticas y ejercicios vinculados a la trigonometría.

En relación a la conversión de ángulos, es importante recordar que en la calculadora científica, podemos ver ciertas abreviaturas que nos ayudan a la conversión de las Funciones Trigonométricas. Éstas son

Grados sexagesimales (D) (DEG)
Radianes (R) (RAD)
Gradianes (G) (GRAD)

Comienzo por reiterar algunas conceptos básicos del sistema de medición más trabajado, esto es, los grados sexagesimales.

1 º es la forma de simbolizar un grado sexagesimal
1º = 60 minutos = 60′ (un grado se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama minuto)
1′ = 60 segundos = 60” (un minuto se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama segundo)

Ahora bien, si lo que queremos es trabajar, son las equivalencias para ejercitar sobre las conversiones, un buen punto de partida es señalar que:

Un ángulo de 180° equivale a π radianes
Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes
Vale recordar que el número π ≈ 3,14159265359…

En la siguiente imagen que tomamos de wikipedia, pueden observarse muy bien estas equivalencias:

- See more at: http://matematicasmodernas.com/conversion-de-angulos/#sthash.Em0ADNQS.dpuf

Conversión de ángulos

Grados sexagesimales (D) (DEG)
Radianes (R) (RAD)
Gradianes (G) (GRAD)

Comienzo por reiterar algunas conceptos básicos del sistema de medición más trabajado, esto es, los grados sexagesimales.

1 º es la forma de simbolizar un grado sexagesimal
1º = 60 minutos = 60′ (un grado se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama minuto)
1′ = 60 segundos = 60” (un minuto se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama segundo)

Ahora bien, si lo que queremos es trabajar, son las equivalencias para ejercitar sobre las conversiones, un buen punto de partida es señalar que:

Un ángulo de 180° equivale a π radianes
Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes
Vale recordar que el número π ≈ 3,14159265359…

En la siguiente imagen que tomamos de wikipedia, pueden observarse muy bien estas equivalencias:

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Círculo trigonométrico.

También conocido como goniométrico, es aquel círculo cuyo centro coincide con el origen de coordenadas del plano cartesiano y cuyo radio mide la unidad. El círculo trigonométrico tiene la ventaja de ser una herramienta práctica en el manejo de los conceptos de trigonometría, pero al mismo tiempo es un apoyo teórico, pues ayuda a fundamentar y tener una idea precisa y formal de las funciones trigonométricas. Atreves del círculo trigonométrico se puede obtener de forma manual o analítica el valor aproximado de las razones trigonométricas para un ángulo determinado si se dispone de los instrumentos geométricos necesarios.

Conversión de ángulos

Grados sexagesimales (D) (DEG)
Radianes (R) (RAD)
Gradianes (G) (GRAD)

Comienzo por reiterar algunas conceptos básicos del sistema de medición más trabajado, esto es, los grados sexagesimales.

1 º es la forma de simbolizar un grado sexagesimal
1º = 60 minutos = 60′ (un grado se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama minuto)
1′ = 60 segundos = 60” (un minuto se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama segundo)

Ahora bien, si lo que queremos es trabajar, son las equivalencias para ejercitar sobre las conversiones, un buen punto de partida es señalar que:

Un ángulo de 180° equivale a π radianes
Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes
Vale recordar que el número π ≈ 3,14159265359…

En la siguiente imagen que tomamos de wikipedia, pueden observarse muy bien estas equivalencias:

Algunos casos particulares

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Conversión de ángulos

Grados sexagesimales (D) (DEG)
Radianes (R) (RAD)
Gradianes (G) (GRAD)

Comienzo por reiterar algunas conceptos básicos del sistema de medición más trabajado, esto es, los grados sexagesimales.

1 º es la forma de simbolizar un grado sexagesimal
1º = 60 minutos = 60′ (un grado se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama minuto)
1′ = 60 segundos = 60” (un minuto se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama segundo)

Ahora bien, si lo que queremos es trabajar, son las equivalencias para ejercitar sobre las conversiones, un buen punto de partida es señalar que:

Un ángulo de 180° equivale a π radianes
Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes
Vale recordar que el número π ≈ 3,14159265359…

En la siguiente imagen que tomamos de wikipedia, pueden observarse muy bien estas equivalencias:

Algunos casos particulares

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Características

Se toma como base un círculo de radio r = 1 con centro o, en el origen en el plano cartesiano. Se considera un ángulo arbitrario medido a partir del eje x positivo y en sentido positivo; o sea, en sentido contrario a las manecillas del reloj; todo ángulo puede ser colocado (y de una sola manera) de forma tal que su vértice coincida con el origen de coordenada , uno de sus lados (llamado lado inicial) coincide con la semirrecta OA y el otro lado (llamado lado terminal) quede ubicado ( a partir del inicial) en la zona de barrida en sentido contrario a la manecilla del reloj.

Razones trigonométricas

Si se rota la semirrecta OP de radio r rota hasta formar un ángulo α, si proyectamos el punto P hasta el eje X,Y, se obtienen dos segmentos; sobre el eje Y se proyecta el segmento OB denominado seno del ángulo α (Seno α), sobre el eje X se proyecta el segmento OA denominado coseno del ángulo α (cos α), formando un triángulo rectángulo OAP, cuyo lado AP se le denomina cateto opuesto al ángulo α, el lado OA es el cateto adyacente al ángulo α, mientras que el lado OP= r se denomina hipotenusa. Del triángulo rectángulo anterior podemos denotar las razones trigonométricas siguientes:

sen α = PA/r
cos α = OA/r
tang α = PA/OA
cot α= OA/PA

Seno del ángulo α

A partir del ángulo α y la semirrecta r se obtiene el punto P, al trazar una perpendicular desde dicho punto y hacia el eje Y se obtiene un segmento OB = AP que se denomina seno del ángulo α (se denota como sen α), también se determina a través de la razón (PA/r).

Coseno del ángulo α

A partir del ángulo α y la semirrecta r se obtiene el punto P, al trazar una perpendicular desde dicho punto y hasta el eje X se obtiene un segmento OA = BP que se denomina coseno del ángulo α (se denota como cos α), también se determina a través de la razón OA/r.

Tangente del ángulo α

Si trazamos una semirrecta EC tangente a la circunferencia por el punto E, que toque la semirrecta OD (prolongación de la semirrecta r), se forma el segmento EC que se denomina tangente del ángulo α (se denota como tang α); también se determina a través de la razón PA/OA.

Cotangente del ángulo α

Si trazamos una semirrecta FD, tangente al punto F y que toque la semirrecta OD, se forma un segmento FD denominado Cotangente del ángulo α (se denota como cot α); también se determina a través de la razón OA/PA.

Primer cuadrante

Parámetro Signo Seno + Coseno + Tangente + Cotangente +
En el primer cuadrante (I), con el aumento del [ángulo] α, disminuye el cos α y la cot α, mientras que aumenta la tang α y el sen α, hasta alcanzar su máximo o mínimo valor a 90° (π/2).

Segundo cuadrante

Parámetro Signo Seno + Coseno - Tangente - Cotangente -

En el segundo cuadrante (II), con el aumento del ángulo α, disminuyen el sen α y el cos α, por lo que lo hacen también tang α y cot α, alcanzando su mínimo valor a 180° (π).

Tercer cuadrante

Parámetro Signo Seno - Coseno - Tangente + Cotangente +
En el tercer cuadrante (III), con el aumento del ángulo α, disminuyen el sen α y el cos α, la tang α aumenta su valor, mientras que la cot α disminuye dado que (a partir de que seno y el coseno son negativos y la relación existente entre ellos) hasta alcanzar su mínimo o máximo valor a 270° (3π/2).

Cuarto cuadrante

Parámetro Signo Seno - Coseno + Tangente - Cotangente -
En el cuarto cuadrante (IV), con el aumento del ángulo α, dirminuye el sen α, mientras que aumenta el cos α por lo que aumenta la cot α, mientras que disminuye la tang α y el, hasta alcanzar su máximo y mínimo valor a 360° (2π

FUNCIONES TRIGONOMETRICA

Clasificacion de las funciones trigometrica

Función seno

f(x) = sen x

Propiedades de la función seno

Dominio: Erre

Recorrido: [−1, 1]

Período: Propiedades

Continuidad: Continua en

Creciente en:

Decreciente en:

Máximos:

Mínimos:

Impar: sen(−x) = −sen x

Cortes con el eje OX:

Función coseno

f(x) = cosen x

Propiedades de la función coseno

Dominio: Erre

Recorrido: [−1, 1]

Período: Propiedades

Continuidad: Continua en

Creciente en: Propiedades

Decreciente en: Propiedades

Máximos: Propiedades

Mínimos: Propiedades

Par: cos(−x) = cos x

Cortes con el eje OX: Propiedades

Función tangente

f(x) = tg x

Propiedades de la función tangente

Dominio: Propiedades

Recorrido: Erre

Continuidad: Continua en Propiedades

Período: Propiedades

Creciente en: Erre

Máximos: No tiene.

Mínimos: No tiene.

Impar: tg(−x) = −tg x

Cortes con el eje OX:

Función cotangente

f(x) = cotg x

Propiedades de la función cotangente

Dominio: Propiedades

Recorrido: Erre

Continuidad: Continua en Propiedades

Período: Propiedades

Decreciente en: Erre

Máximos: No tiene.

Mínimos: No tiene.

Impar: cotg(−x) = −cotg x

Cortes con el eje OX: Propiedades

Función secante

f(x) = sec x

Propiedades de la función secante

Dominio: Propiedades

Recorrido: (− ∞, −1] Unión

[1, ∞)

Período: Propiedades

Continuidad: Continua en Propiedades

Creciente en: Propiedades

Decreciente en: Propiedades

Máximos: Propiedades

Mínimos: Propiedades

Par: sec(−x) = sec x

Cortes con el eje OX: No corta

Función cosecante

f(x) = cosec x

Propiedades de la función cosecante

Dominio: Propiedades

Recorrido: (− ∞, −1] Unión

[1, ∞)

Período: Propiedades

Continuidad: Continua en Propiedades

Creciente en: Propiedades

Decreciente en: Propiedades

Máximos: Propiedades

Mínimos: Propiedades

Impar: cosec(−x) = −cosec x

Cortes con el eje OX: No corta

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Las identidades trigonométricas son ecuaciones que involucran las funciones trigonométricas que son verdaderas para cada valor de las variables involucradas. Algunas de las identidades trigonométricas más comúnmente usadas se derivan del teorema de Pitágoras.

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PRINCIPALES

Conversión de ángulos

Grados sexagesimales (D) (DEG)
Radianes (R) (RAD)
Gradianes (G) (GRAD)

Comienzo por reiterar algunas conceptos básicos del sistema de medición más trabajado, esto es, los grados sexagesimales.

1 º es la forma de simbolizar un grado sexagesimal
1º = 60 minutos = 60′ (un grado se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama minuto)
1′ = 60 segundos = 60” (un minuto se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama segundo)

Ahora bien, si lo que queremos es trabajar, son las equivalencias para ejercitar sobre las conversiones, un buen punto de partida es señalar que:

Un ángulo de 180° equivale a π radianes
Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes
Vale recordar que el número π ≈ 3,14159265359…

En la siguiente imagen que tomamos de wikipedia, pueden observarse muy bien estas equivalencias:

Algunos casos particulares

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Conversión de ángulos

Grados sexagesimales (D) (DEG)
Radianes (R) (RAD)
Gradianes (G) (GRAD)

Comienzo por reiterar algunas conceptos básicos del sistema de medición más trabajado, esto es, los grados sexagesimales.

1 º es la forma de simbolizar un grado sexagesimal
1º = 60 minutos = 60′ (un grado se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama minuto)
1′ = 60 segundos = 60” (un minuto se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama segundo)

Ahora bien, si lo que queremos es trabajar, son las equivalencias para ejercitar sobre las conversiones, un buen punto de partida es señalar que:

Un ángulo de 180° equivale a π radianes
Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes
Vale recordar que el número π ≈ 3,14159265359…

En la siguiente imagen que tomamos de wikipedia, pueden observarse muy bien estas equivalencias:

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