HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA
La
historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los
Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en
grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia
clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea
construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un
ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba
la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central
dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
ANGULOS Y SUS MEDIDAS
Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos
semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al
origen común vértice.
El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso contrario.
Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades:
Sistema centesimal:
Sistema de 400 grados, su unidad es el grado centesimal
Grado sexagesimal (°):
Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales,
el ángulo central correspondiente a cada una de sus partes es un ángulo
de un grado (1°) sexagesimal.
Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').
Sistema Internacional:
Es
un ángulo con vértice en el centro de una circunferencia y cuyos lados
abarcan un arco de longitud igual al radio de la circunferencia; en este
sistema se le conoce como medida angular unidad el radián, con abreviatura rad. Se utiliza en geometría, cálculos y análisis matemático, por ejemplo en sistema de coordenadas polar, etc.
2 Radián (rad):
Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio.
Ejemplo:
2π rad = 360°
π rad = 180°
30º
rad
rad
/3 rad º Conversión de ángulos
El tema es de suma importancia, y en ese sentido comienzo por decirte que es de suma importancia que tengas siempre a mano y sepas bien cómo usar la calculadora científica,
tanto para ir comprobando y ejercitando sobre los ejemplos que
citaremos en este post como para resolver todas las situaciones
problemáticas y ejercicios vinculados a la trigonometría.
En
relación a la conversión de ángulos, es importante recordar que en la
calculadora científica, podemos ver ciertas abreviaturas que nos ayudan a
la conversión de las Funciones Trigonométricas. Éstas son
- Grados sexagesimales (D) (DEG)
- Radianes (R) (RAD)
- Gradianes (G) (GRAD)
Comienzo por reiterar algunas conceptos básicos del sistema de medición más trabajado, esto es, los grados sexagesimales.
- 1 º es la forma de simbolizar un grado sexagesimal
- 1º = 60 minutos = 60′ (un grado se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama minuto)
- 1′ = 60 segundos = 60” (un minuto se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama segundo)
Ahora bien, si lo que queremos es trabajar, son las equivalencias para ejercitar sobre las conversiones, un buen punto de partida es señalar que:
- Un ángulo de 180° equivale a π radianes
- Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes
- Vale recordar que el número π ≈ 3,14159265359…
En la siguiente imagen que tomamos de wikipedia, pueden observarse muy bien estas equivalencias:
Conversión de ángulos
El tema es de suma importancia, y en ese sentido comienzo por decirte que es de suma importancia que tengas siempre a mano y sepas bien cómo usar la calculadora científica,
tanto para ir comprobando y ejercitando sobre los ejemplos que
citaremos en este post como para resolver todas las situaciones
problemáticas y ejercicios vinculados a la trigonometría.
En
relación a la conversión de ángulos, es importante recordar que en la
calculadora científica, podemos ver ciertas abreviaturas que nos ayudan a
la conversión de las Funciones Trigonométricas. Éstas son
- Grados sexagesimales (D) (DEG)
- Radianes (R) (RAD)
- Gradianes (G) (GRAD)
Comienzo por reiterar algunas conceptos básicos del sistema de medición más trabajado, esto es, los grados sexagesimales.
- 1 º es la forma de simbolizar un grado sexagesimal
- 1º = 60 minutos = 60′ (un grado se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama minuto)
- 1′ = 60 segundos = 60” (un minuto se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama segundo)
Ahora bien, si lo que queremos es trabajar, son las equivalencias para ejercitar sobre las conversiones, un buen punto de partida es señalar que:
- Un ángulo de 180° equivale a π radianes
- Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes
- Vale recordar que el número π ≈ 3,14159265359…
En la siguiente imagen que tomamos de wikipedia, pueden observarse muy bien estas equivalencias:
Círculo trigonométrico.
También conocido como goniométrico, es
aquel círculo cuyo centro coincide con el origen de coordenadas del
plano cartesiano y cuyo radio mide la unidad.
El círculo trigonométrico tiene la ventaja de ser una herramienta
práctica en el manejo de los conceptos de trigonometría, pero al mismo
tiempo es un apoyo teórico, pues ayuda a fundamentar y tener una idea
precisa y formal de las funciones trigonométricas. Atreves del círculo
trigonométrico se puede obtener de forma manual o analítica el valor
aproximado de las razones trigonométricas para un ángulo determinado si se dispone de los instrumentos geométricos necesarios.
Conversión de ángulos
El tema es de suma importancia, y en ese sentido comienzo por decirte que es de suma importancia que tengas siempre a mano y sepas bien cómo usar la calculadora científica,
tanto para ir comprobando y ejercitando sobre los ejemplos que
citaremos en este post como para resolver todas las situaciones
problemáticas y ejercicios vinculados a la trigonometría.
En
relación a la conversión de ángulos, es importante recordar que en la
calculadora científica, podemos ver ciertas abreviaturas que nos ayudan a
la conversión de las Funciones Trigonométricas. Éstas son
- Grados sexagesimales (D) (DEG)
- Radianes (R) (RAD)
- Gradianes (G) (GRAD)
Comienzo por reiterar algunas conceptos básicos del sistema de medición más trabajado, esto es, los grados sexagesimales.
- 1 º es la forma de simbolizar un grado sexagesimal
- 1º = 60 minutos = 60′ (un grado se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama minuto)
- 1′ = 60 segundos = 60” (un minuto se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama segundo)
Ahora bien, si lo que queremos es trabajar, son las equivalencias para ejercitar sobre las conversiones, un buen punto de partida es señalar que:
- Un ángulo de 180° equivale a π radianes
- Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes
- Vale recordar que el número π ≈ 3,14159265359…
En la siguiente imagen que tomamos de wikipedia, pueden observarse muy bien estas equivalencias:
Algunos casos particulares
- See more at: http://matematicasmodernas.com/conversion-de-angulos/#sthash.VuPXC7bf.dpufConversión de ángulos
El tema es de suma importancia, y en ese sentido comienzo por decirte que es de suma importancia que tengas siempre a mano y sepas bien cómo usar la calculadora científica,
tanto para ir comprobando y ejercitando sobre los ejemplos que
citaremos en este post como para resolver todas las situaciones
problemáticas y ejercicios vinculados a la trigonometría.
En
relación a la conversión de ángulos, es importante recordar que en la
calculadora científica, podemos ver ciertas abreviaturas que nos ayudan a
la conversión de las Funciones Trigonométricas. Éstas son
- Grados sexagesimales (D) (DEG)
- Radianes (R) (RAD)
- Gradianes (G) (GRAD)
Comienzo por reiterar algunas conceptos básicos del sistema de medición más trabajado, esto es, los grados sexagesimales.
- 1 º es la forma de simbolizar un grado sexagesimal
- 1º = 60 minutos = 60′ (un grado se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama minuto)
- 1′ = 60 segundos = 60” (un minuto se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama segundo)
Ahora bien, si lo que queremos es trabajar, son las equivalencias para ejercitar sobre las conversiones, un buen punto de partida es señalar que:
- Un ángulo de 180° equivale a π radianes
- Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes
- Vale recordar que el número π ≈ 3,14159265359…
En la siguiente imagen que tomamos de wikipedia, pueden observarse muy bien estas equivalencias:
Algunos casos particulares
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Se toma como base un círculo de radio r = 1 con centro o, en el origen en el plano cartesiano. Se considera un ángulo arbitrario medido a partir del eje x positivo y en sentido positivo; o sea, en sentido contrario a las manecillas del reloj; todo ángulo puede ser colocado (y de una sola manera) de forma tal que su vértice coincida con el origen de coordenada , uno de sus lados (llamado lado inicial) coincide con la semirrecta OA y el otro lado (llamado lado terminal) quede ubicado ( a partir del inicial) en la zona de barrida en sentido contrario a la manecilla del reloj.
Razones trigonométricas
- sen α = PA/r
- cos α = OA/r
- tang α = PA/OA
- cot α= OA/PA
Seno del ángulo α
A partir del ángulo α y la semirrecta r se obtiene el punto P, al trazar una perpendicular desde dicho punto y hacia el eje Y se obtiene un segmento OB = AP que se denomina seno del ángulo α (se denota como sen α), también se determina a través de la razón (PA/r).Coseno del ángulo α
A partir del ángulo α y la semirrecta r se obtiene el punto P, al trazar una perpendicular desde dicho punto y hasta el eje X se obtiene un segmento OA = BP que se denomina coseno del ángulo α (se denota como cos α), también se determina a través de la razón OA/r.Tangente del ángulo α
Si trazamos una semirrecta EC tangente a la circunferencia por el punto E, que toque la semirrecta OD (prolongación de la semirrecta r), se forma el segmento EC que se denomina tangente del ángulo α (se denota como tang α); también se determina a través de la razón PA/OA.Cotangente del ángulo α
Si trazamos una semirrecta FD, tangente al punto F y que toque la semirrecta OD, se forma un segmento FD denominado Cotangente del ángulo α (se denota como cot α); también se determina a través de la razón OA/PA.Primer cuadrante
En el primer cuadrante (I), con el aumento del [ángulo] α, disminuye el cos α y la cot α, mientras que aumenta la tang α y el sen α, hasta alcanzar su máximo o mínimo valor a 90° (π/2).
Segundo cuadrante
En el segundo cuadrante (II), con el aumento del ángulo α, disminuyen el sen α y el cos α, por lo que lo hacen también tang α y cot α, alcanzando su mínimo valor a 180° (π).
Tercer cuadrante
En el tercer cuadrante (III), con el aumento del ángulo α, disminuyen el sen α y el cos α, la tang α aumenta su valor, mientras que la cot α disminuye dado que (a partir de que seno y el coseno son negativos y la relación existente entre ellos) hasta alcanzar su mínimo o máximo valor a 270° (3π/2).
Cuarto cuadrante
Parámetro Signo Seno - Coseno + Tangente - Cotangente -
En el cuarto cuadrante (IV), con el aumento del ángulo α, dirminuye el sen α, mientras que aumenta el cos α por lo que aumenta la cot α, mientras que disminuye la tang α y el, hasta alcanzar su máximo y mínimo valor a 360° (2π
FUNCIONES TRIGONOMETRICA
Función seno
f(x) = sen x
Propiedades de la función seno
Dominio: 
Recorrido: [−1, 1]
Período: 
Continuidad: Continua en 
Creciente en: 
Decreciente en: 
Máximos: 
Mínimos: 
Impar: sen(−x) = −sen x
Cortes con el eje OX: 
Función coseno
f(x) = cosen x
Propiedades de la función coseno
Dominio:
Recorrido: [−1, 1]
Período:
Continuidad: Continua en
Creciente en: 
Decreciente en: 
Máximos: 
Mínimos: 
Par: cos(−x) = cos x
Cortes con el eje OX: 
Función tangente
f(x) = tg x
Propiedades de la función tangente
Dominio: 
Recorrido:
Continuidad: Continua en 
Período: 
Creciente en:
Máximos: No tiene.
Mínimos: No tiene.
Impar: tg(−x) = −tg x
Cortes con el eje OX:
Función cotangente
f(x) = cotg x
Propiedades de la función cotangente
Dominio:
Recorrido:
Continuidad: Continua en 
Período:
Decreciente en:
Máximos: No tiene.
Mínimos: No tiene.
Impar: cotg(−x) = −cotg x
Cortes con el eje OX:
Función secante
f(x) = sec x
Propiedades de la función secante
Dominio:
Recorrido: (− ∞, −1] 
[1, ∞)
[1, ∞)
Período:
Continuidad: Continua en
Creciente en: 
Decreciente en: 
Máximos: 
Mínimos:
Par: sec(−x) = sec x
Cortes con el eje OX: No corta
Función cosecante
f(x) = cosec x
Propiedades de la función cosecante
Dominio:
Recorrido: (− ∞, −1] [1, ∞)
[1, ∞)
Período:
Continuidad: Continua en
Creciente en:
Decreciente en: 
Máximos: 
Mínimos: 
Impar: cosec(−x) = −cosec x
Cortes con el eje OX: No corta
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Las identidades trigonométricas son ecuaciones que involucran las funciones trigonométricas que son verdaderas para cada valor de las variables involucradas. Algunas de las identidades trigonométricas más comúnmente usadas se derivan del teorema de Pitágoras.
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PRINCIPALES
Conversión de ángulos
El tema es de suma importancia, y en ese sentido comienzo por decirte que es de suma importancia que tengas siempre a mano y sepas bien cómo usar la calculadora científica,
tanto para ir comprobando y ejercitando sobre los ejemplos que
citaremos en este post como para resolver todas las situaciones
problemáticas y ejercicios vinculados a la trigonometría.
En
relación a la conversión de ángulos, es importante recordar que en la
calculadora científica, podemos ver ciertas abreviaturas que nos ayudan a
la conversión de las Funciones Trigonométricas. Éstas son
- Grados sexagesimales (D) (DEG)
- Radianes (R) (RAD)
- Gradianes (G) (GRAD)
Comienzo por reiterar algunas conceptos básicos del sistema de medición más trabajado, esto es, los grados sexagesimales.
- 1 º es la forma de simbolizar un grado sexagesimal
- 1º = 60 minutos = 60′ (un grado se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama minuto)
- 1′ = 60 segundos = 60” (un minuto se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama segundo)
Ahora bien, si lo que queremos es trabajar, son las equivalencias para ejercitar sobre las conversiones, un buen punto de partida es señalar que:
- Un ángulo de 180° equivale a π radianes
- Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes
- Vale recordar que el número π ≈ 3,14159265359…
En la siguiente imagen que tomamos de wikipedia, pueden observarse muy bien estas equivalencias:
Algunos casos particulares
- See more at: http://matematicasmodernas.com/conversion-de-angulos/#sthash.VuPXC7bf.dpufConversión de ángulos
El tema es de suma importancia, y en ese sentido comienzo por decirte que es de suma importancia que tengas siempre a mano y sepas bien cómo usar la calculadora científica,
tanto para ir comprobando y ejercitando sobre los ejemplos que
citaremos en este post como para resolver todas las situaciones
problemáticas y ejercicios vinculados a la trigonometría.
En
relación a la conversión de ángulos, es importante recordar que en la
calculadora científica, podemos ver ciertas abreviaturas que nos ayudan a
la conversión de las Funciones Trigonométricas. Éstas son
- Grados sexagesimales (D) (DEG)
- Radianes (R) (RAD)
- Gradianes (G) (GRAD)
Comienzo por reiterar algunas conceptos básicos del sistema de medición más trabajado, esto es, los grados sexagesimales.
- 1 º es la forma de simbolizar un grado sexagesimal
- 1º = 60 minutos = 60′ (un grado se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama minuto)
- 1′ = 60 segundos = 60” (un minuto se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama segundo)
Ahora bien, si lo que queremos es trabajar, son las equivalencias para ejercitar sobre las conversiones, un buen punto de partida es señalar que:
- Un ángulo de 180° equivale a π radianes
- Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes
- Vale recordar que el número π ≈ 3,14159265359…
En la siguiente imagen que tomamos de wikipedia, pueden observarse muy bien estas equivalencias:
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