¿Qué es un conjunto?
En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:
- AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}
- P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
- S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}
- AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}
CLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOS
Conjunto finito
Se
refiere a un conjunto formado por elementos que se pueden contar en su
totalidad. Por ejemplo el conjunto de los colores del arcoíris es finito
debido a que ellos se pueden contar o listar en su totalidad: violeta,
índigo, azul, verde, amarillo, naranja y rojo.
Conjunto infinito
Es un conjunto formado por elementos
imposibles de contar o enumerar en su totalidad debido a que nunca
terminan o no tienen fin. Por ejemplo el conjunto de las estrellas en el
universo o de los números. Para representar estos conjuntos, solo
podemos hacerlo mediante comprensión.
Conjunto unitario
En un conjunto formado por un único
elemento. Por ejemplo el conjunto de estrellas en nuestro sistema solar:
la única estrella de nuestro sistema solar es precisamente el sol.
Conjunto vacío
Es un conjunto que no tiene elementos porque
no existen. Por ejemplo el conjunto de árboles de monedas. Este tipo de
conjuntos también se representan por comprensión.
Conjuntos homogéneos
Se refiere a los conjuntos formados
por elementos que pertenecen a un mismo tipo o género. Por ejemplo el
conjunto de monedas de cincuenta centavos.
Conjuntos heterogéneos
A diferencia de los conjuntos
homogéneos, estos se caracterizan porque sus elementos son de diferentes
tipos o géneros. Por ejemplo el conjunto de juguetes de Samuel.
Conjuntos equivalentes
Se
entiende que un conjunto es equivalente a otro cuando ambos tienen el
mismo número o cantidad de elementos, no importa de qué tipo sean sino
el número de elementos.
Conjuntos iguales
Cuando
ambos conjuntos están compuestos por los mismos elementos, se dice que
son conjuntos iguales. Por ejemplo dos cajas de chocolates están
compuestas por los mismos elementos.
Ejemplo, A = {x/x es mes del año}
B= índice, entonces
RELACIÓN DE PERTENENCIA
Cuando un elemento no esta en el conjunto dicho elemento no pertenece al conjunto, y se representa de la siguiente maneraEjemplo, A = {x/x es mes del año}
B= índice, entonces
Para indicar que un objeto es un elemento
de un conjunto se utiliza el símbolo ∈. Por ejemplo, para el conjunto A
= {1,2,3,4,5,6}, podemos escribir 1 ϵ
A, 2 ϵ A, …, 6 ϵ A.
Si un objeto no es un elemento del conjunto, lo
indicaremos con el símbolo ∉. Así, para el conjunto anterior,
escribiremos 0 ∉ A, - 3 ∉ A, ...
Ejemplo :
Indica la veracidad de las siguientes
afirmaciones, referidas al conjunto A = {1,3,5}, y propón una explicación que justifique tu respuesta:
a) 1 ϵ A,
b) – 3 ϵ A,
c) 0 ∉ A, d) A ϵ A,
e) N ∉ A.
P = { los peces en el mar }
También se puede decir que A es subconjunto del conjunto B. Se puede denotar por B(A, que se lee "B incluye, contiene al conjunto A"
Ejemplo:
Si: P = {vacas}
M = {mamíferos}
Entonces se tiene:
Sean por ejemplo los conjuntos:
A = {a, b, c, d} B = {a, d}
C = {b, d, a, c} D = {a, c, e}
En este caso se observa las siguientes inclusiones:
B ( A; C ( A; A ( C
En cambio los conjuntos "C" y "D" son incomparables, porque ni "C" incluye a "D", ni "D" incluye a "C", es decir:
D (C; C(D
Hemos visto que pueden ocurrir al mismo tiempo las dos inclusiones C ( A y A ( C, esto quiere decir, que A = C.
Nótese que decimos los mismos elementos que no es igual a decir el mismo número de elementos.
De la definición podemos inferir que: A = A (todo conjunto es igual a sí mismo).
Ejemplo 01
Si: A = [1, 3, 7, 9, a, b} B = {a, b, 9, 3, 1, 7}
Entonces: A = B pues son los mismos elementos aunque estén en diferente orden. Recuerde, no importa el nombre dado al conjunto si no los elementos que lo forman.
Ejemplo 02
Si: C = {a, e, o, i, u} D = {a, e, o, 3, u}
Entonces: C?D porque a pesar de que cada conjunto tiene cinco elementos (igual número de elementos) basta que exista un elemento diferente para que ya no sean iguales.
Ejemplo:
![Monografias.com](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_suprSU8JrSFQ8dq_X-irxm2Zd5rq-VPxrvrxZ8mXr80svK6YBO8bFo6wCWQv_5yqkO8J50jvuyS2fEVc31qacBkZwAHGT5YDL4w2yxbXitBlEmJf7qmydNGyXOMZsZP5ZYNi9CarY=s0-d)
Ejemplo:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} B = {9, 8, 7, 6, 10}
En este caso podemos apreciar que ningún elemento de A o B son los mismos a esto se denomina conjuntos disjuntos.
Ejemplo:
![Monografias.com](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vdIGjiR3o6ws4IYuMpC4ZI0nalONmohezSje_YKXlVuczVX5X9lFfo8Pfgyhyaj7ocuNMXwcli3azMSM0shzzx7B8Lq62T6XHxPjB5xWfJ4Tm7HY8Fh_Yv4uPzGBuGjR-5O-V8OUc=s0-d)
DETERMINACIÓN DE CONJUNTO
POR EXTENSIÓN
Es aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto.
Ejemplos:
A) El conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20.
A = { 6;8;10;12;14;16;18 }
Ejemplos:
A) El conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20.
A = { 6;8;10;12;14;16;18 }
- 2.
B) El conjunto de números negativos impares mayores que -10.
B = {-9;-7;-5;-3;-1 }POR COMPRENSIÓN
Es aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto.
Ejemplo:
P = { los números dígitos }
se puede entender que el conjunto P esta formado por los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
-
3.
Otra forma de escribir es: P = { x / x = dígito } se lee “ P es el
conjunto formado por los elementos x tal que x es un dígito “
Ejemplo:
Expresar por extensión y por comprensión el conjunto de días de la semana.
Por Extensión : D = { lunes; martes; miércoles; jueves; viernes; sábado; domingo }
Por Comprensión : D = { x / x = día de la semana }
CLASES DE CONJUNTOS
Según el número de elementos que conforman un
conjunto, éstos se clasifican en:
Universal o referencia.
§ Vacío.
§ Unitario.
§ Finito.
§ Infinito.
El conjunto universal o referencia,
es el formado por un amplio número de elementos, como puede ser el conjunto de
los números naturales o por letras del abecedario. Estos conjuntos sirven de
base para crear más conjuntos.
Para representar que un conjunto es universal se
utiliza la vocal U mayúscula.
Ejemplo:
El conjunto formado por las letras del abecedario.
U = { letras del abecedario }
Del conjunto U se puede formar el
conjunto V de vocales y conjunto C de consonantes.
El conjunto
vacío es aquel que no tiene elemento alguno.
Ejemplos:
A = { }
El conjunto A no posee ningún elemento.
B = { números impares entre 5 y 7 }
No existe ningún numero impar entre los números 5 y
7.
Gráficamente:
Generalmente el conjunto vacío se representa
mediante un paréntesis { } (corchete sin elemento), o por el símbolo
.
Conjunto unitario
El conjunto
unitario es aquel que posee solamente un elemento.
Un conjunto es finito, cuando posee un comienzo y un final, en otras palabras, es cuando los elementos del conjunto se pueden determinar o contar.
Ejemplos:
1. El conjunto de números naturales mayores de 8 y
menores de 10:
C = { 9 }
El único elemento es el número 9.
. Conjunto de satélites naturales de la Tierra
S = { Luna }
El conjunto está formado por un solo elemento,
porque la Tierra solo posee un satélite natural, la Luna.
Un conjunto es finito, cuando posee un comienzo y un final, en otras palabras, es cuando los elementos del conjunto se pueden determinar o contar.
Ejemplos:
- Conjunto de números pares entre 10 y 40:
R = { 10,12,14,16,18,20, 22, 24,
26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40 }
- Conjunto de las páginas de un libro:
- Conjunto de vocales.
Conjunto infinito
El conjunto es infinito, cuando posee un inicio pero no tiene fin. Es decir, que la cantidad de elementos que conforman el conjunto no se puede determinar.
Ejemplos:
- El conjunto de los números naturales:
El conjunto de los números naturales es infinito,
puesto que no es posible contar la totalidad de elementos (números) que
conforman el conjunto.
- El conjunto de los peces en el mar:
P = { los peces en el mar }
Relaciones entre conjuntos
1. INCLUSIÓN
Se dice que "A" está incluido en el conjunto "B", cuando todo elemento de A, pertenece a "B". La inclusión se simboliza por: "("También se puede decir que A es subconjunto del conjunto B. Se puede denotar por B(A, que se lee "B incluye, contiene al conjunto A"
Si: P = {vacas}
M = {mamíferos}
Entonces se tiene:
A = {a, b, c, d} B = {a, d}
C = {b, d, a, c} D = {a, c, e}
En este caso se observa las siguientes inclusiones:
B ( A; C ( A; A ( C
En cambio los conjuntos "C" y "D" son incomparables, porque ni "C" incluye a "D", ni "D" incluye a "C", es decir:
D (C; C(D
Hemos visto que pueden ocurrir al mismo tiempo las dos inclusiones C ( A y A ( C, esto quiere decir, que A = C.
2. CONJUNTOS IGUALES
Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, su forma simbólica es: A = BNótese que decimos los mismos elementos que no es igual a decir el mismo número de elementos.
De la definición podemos inferir que: A = A (todo conjunto es igual a sí mismo).
Ejemplo 01
Si: A = [1, 3, 7, 9, a, b} B = {a, b, 9, 3, 1, 7}
Entonces: A = B pues son los mismos elementos aunque estén en diferente orden. Recuerde, no importa el nombre dado al conjunto si no los elementos que lo forman.
Ejemplo 02
Si: C = {a, e, o, i, u} D = {a, e, o, 3, u}
Entonces: C?D porque a pesar de que cada conjunto tiene cinco elementos (igual número de elementos) basta que exista un elemento diferente para que ya no sean iguales.
3. CONJUNTOS DIFERENTES
Dos conjuntos son diferentes si sus elementos no son iguales.
Ejemplo:
4. CONJUNTOS DISJUNTOS
Dos conjuntos son disjuntos si no tienen ningún elemento en común: es decir, todos los elementos de un conjunto son diferentes a los elementos de otro conjunto.
Ejemplo:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} B = {9, 8, 7, 6, 10}
En este caso podemos apreciar que ningún elemento de A o B son los mismos a esto se denomina conjuntos disjuntos.
5. CONJUNTO POTENCIA
Se llama así al conjunto formado por todos los subconjuntos que es posible formar de un conjunto dado. Se simboliza por P. La notación P(A), se lee: "potencia del conjunto A". El número de subconjuntos que es posible formar con los elementos de un conjunto es: 2n siendo "n" el número de elementos integrantes del conjunto dado.
Ejemplo:
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