QUE ES UN CONJUNTO

¿Qué es un conjunto?

En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.
Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:

S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}

CLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOS

 Conjunto finito

Se refiere a un conjunto formado por elementos que se pueden contar en su totalidad. Por ejemplo el conjunto de los colores del arcoíris es finito debido a que ellos se pueden contar o listar en su totalidad: violeta, índigo, azul, verde, amarillo, naranja y rojo.

Conjunto infinito

Es un conjunto formado por elementos imposibles de contar o enumerar en su totalidad debido a que nunca terminan o no tienen fin. Por ejemplo el conjunto de las estrellas en el universo o de los números. Para representar estos conjuntos, solo podemos hacerlo mediante comprensión.

Conjunto unitario

En un conjunto formado por un único elemento. Por ejemplo el conjunto de estrellas en nuestro sistema solar: la única estrella de nuestro sistema solar es precisamente el sol.

Conjunto vacío

Es un conjunto que no tiene elementos porque no existen. Por ejemplo el conjunto de árboles de monedas. Este tipo de conjuntos también se representan por comprensión.

Conjuntos homogéneos

Se refiere a los conjuntos formados por elementos que pertenecen a un mismo tipo o género. Por ejemplo el conjunto de monedas de cincuenta centavos.

Conjuntos heterogéneos

A diferencia de los conjuntos homogéneos, estos se caracterizan porque sus elementos son de diferentes tipos o géneros. Por ejemplo el conjunto de juguetes de Samuel.

Conjuntos equivalentes

Se entiende que un conjunto es equivalente a otro cuando ambos tienen el mismo número o cantidad de elementos, no importa de qué tipo sean sino el número de elementos.

Conjuntos iguales

Cuando ambos conjuntos están compuestos por los mismos elementos, se dice que son conjuntos iguales. Por ejemplo dos cajas de chocolates están compuestas por los mismos elementos.

 RELACIÓN DE PERTENENCIA

Cuando un elemento no esta en el conjunto dicho elemento no pertenece al conjunto, y se representa de la siguiente manera

Ejemplo, A = {x/x es mes del año}
B= índice, entonces

Para indicar que un objeto es un elemento de un conjunto se utiliza el símbolo ∈. Por ejemplo, para el conjunto A = {1,2,3,4,5,6}, podemos escribir 1 ϵ A, 2 ϵ A, …, 6 ϵ A.

Si un objeto no es un elemento del conjunto, lo indicaremos con el símbolo ∉. Así, para el conjunto anterior, escribiremos 0 ∉ A, - 3 ∉ A, ...

  Ejemplo :

Indica la veracidad de las siguientes afirmaciones, referidas al conjunto A = {1,3,5}, y propón una explicación que justifique tu respuesta:

a) 1 ϵ A,    b) – 3 ϵ A,    c) 0 ∉ A,    d) A ϵ A,    e) N ∉ A.

DETERMINACIÓN DE CONJUNTO

 POR EXTENSIÓN

Es aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto.
Ejemplos:
A) El conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20.
A = { 6;8;10;12;14;16;18 } 

• 2. B) El conjunto de números negativos impares mayores que -10.
  B = {-9;-7;-5;-3;-1 }

   POR COMPRENSIÓN

  Es aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto.
  Ejemplo:
  P = { los números dígitos }
  se puede entender que el conjunto P esta formado por los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
  
• 3. Otra forma de escribir es: P = { x / x = dígito } se lee “ P es el conjunto formado por los elementos x tal que x es un dígito “
  Ejemplo:
  Expresar por extensión y por comprensión el conjunto de días de la semana.
  Por Extensión : D = { lunes; martes; miércoles; jueves; viernes; sábado; domingo }
  Por Comprensión : D = { x / x = día de la semana }

CLASES DE CONJUNTOS

Según el número de elementos que conforman un conjunto, éstos se clasifican en:

 Universal o referencia.

§  Vacío.

§   Unitario.

§   Finito.

§   Infinito.

 1. Conjunto universal o referencia

El conjunto universal o referencia, es el formado por un amplio número de elementos, como puede ser el conjunto de los números naturales o por letras del abecedario. Estos conjuntos sirven de base para crear más conjuntos.

Para representar que un conjunto es universal se utiliza la vocal U mayúscula.

Ejemplo:

El conjunto formado por las letras del abecedario.

U = { letras del abecedario }

Gráficamente:

Del conjunto U se puede formar el conjunto V de vocales y conjunto C de consonantes.

Conjunto vacío

El conjunto vacío es aquel que no tiene elemento alguno.

Ejemplos:

A = { }

El conjunto A no posee ningún elemento.

B = { números impares entre 5 y 7 }

No existe ningún numero impar entre los números 5 y 7.

Gráficamente:

Generalmente el conjunto vacío se representa mediante un paréntesis { } (corchete sin elemento), o por el símbolo .

Conjunto unitario

 El conjunto unitario es aquel que posee solamente un elemento.

Ejemplos:

1. El conjunto de números naturales mayores de 8 y menores de 10:

C = { 9 }

El único elemento es el número 9.

. Conjunto de satélites naturales de la Tierra

S = { Luna }

El conjunto está formado por un solo elemento, porque la Tierra solo posee un satélite natural, la Luna.

Conjunto finito

Un conjunto es finito, cuando posee un comienzo y un final, en otras palabras, es cuando los elementos del conjunto se pueden determinar o contar.

Ejemplos:

• Conjunto de números pares entre 10 y 40:

R = { 10,12,14,16,18,20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40 }

• Conjunto de las páginas de un libro:

T = { páginas de un libro }.

• Conjunto de vocales.

V = { a, e, o, i, u }

Conjunto infinito

El conjunto es infinito, cuando posee un inicio pero no tiene fin. Es decir, que la cantidad de elementos que conforman el conjunto no se puede determinar.

Ejemplos:

• El conjunto de los números naturales:

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,...}

El conjunto de los números naturales es infinito, puesto que no es posible contar la totalidad de elementos (números) que conforman el conjunto.

• El conjunto de los peces en el mar:

P = { los peces en el mar } 

Relaciones entre conjuntos

1. INCLUSIÓN

Se dice que "A" está incluido en el conjunto "B", cuando todo elemento de A, pertenece a "B". La inclusión se simboliza por: "("
También se puede decir que A es subconjunto del conjunto B. Se puede denotar por B(A, que se lee "B incluye, contiene al conjunto A"

Ejemplo:
Si: P = {vacas}
M = {mamíferos}
Entonces se tiene:

Sean por ejemplo los conjuntos:
A = {a, b, c, d} B = {a, d}
C = {b, d, a, c} D = {a, c, e}
En este caso se observa las siguientes inclusiones:
B ( A; C ( A; A ( C
En cambio los conjuntos "C" y "D" son incomparables, porque ni "C" incluye a "D", ni "D" incluye a "C", es decir:
D (C; C(D
Hemos visto que pueden ocurrir al mismo tiempo las dos inclusiones C ( A y A ( C, esto quiere decir, que A = C.

2. CONJUNTOS IGUALES

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, su forma simbólica es: A = B
Nótese que decimos los mismos elementos que no es igual a decir el mismo número de elementos.
De la definición podemos inferir que: A = A (todo conjunto es igual a sí mismo).
Ejemplo 01
Si: A = [1, 3, 7, 9, a, b} B = {a, b, 9, 3, 1, 7}
Entonces: A = B pues son los mismos elementos aunque estén en diferente orden. Recuerde, no importa el nombre dado al conjunto si no los elementos que lo forman.
Ejemplo 02
Si: C = {a, e, o, i, u} D = {a, e, o, 3, u}
Entonces: C?D porque a pesar de que cada conjunto tiene cinco elementos (igual número de elementos) basta que exista un elemento diferente para que ya no sean iguales.

3. CONJUNTOS DIFERENTES

 

Dos conjuntos son diferentes si sus elementos no son iguales.
Ejemplo:

4. CONJUNTOS DISJUNTOS

 

Dos conjuntos son disjuntos si no tienen ningún elemento en común: es decir, todos los elementos de un conjunto son diferentes a los elementos de otro conjunto.
Ejemplo:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} B = {9, 8, 7, 6, 10}
En este caso podemos apreciar que ningún elemento de A o B son los mismos a esto se denomina conjuntos disjuntos.

5. CONJUNTO POTENCIA

 

Se llama así al conjunto formado por todos los subconjuntos que es posible formar de un conjunto dado. Se simboliza por P. La notación P(A), se lee: "potencia del conjunto A". El número de subconjuntos que es posible formar con los elementos de un conjunto es: 2n siendo "n" el número de elementos integrantes del conjunto dado.
Ejemplo: