Cuando
ambos conjuntos están compuestos por los mismos elementos, se dice que
son conjuntos iguales. Por ejemplo dos cajas de chocolates están
compuestas por los mismos elementos.
a) 1 ϵ A,
b) – 3 ϵ A,
c) 0 ∉ A, d) A ϵ A,
e) N ∉ A.
DETERMINACIÓN DE CONJUNTO
POR EXTENSIÓN
Es aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto.
Ejemplos:
A) El conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20.
A = { 6;8;10;12;14;16;18 }
- 2.
B) El conjunto de números negativos impares mayores que -10.
B = {-9;-7;-5;-3;-1 }
POR COMPRENSIÓN
Es aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto.
Ejemplo:
P = { los números dígitos }
se puede entender que el conjunto P esta formado por los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
-
3.
Otra forma de escribir es: P = { x / x = dígito } se lee “ P es el
conjunto formado por los elementos x tal que x es un dígito “
Ejemplo:
Expresar por extensión y por comprensión el conjunto de días de la semana.
Por Extensión : D = { lunes; martes; miércoles; jueves; viernes; sábado; domingo }
Por Comprensión : D = { x / x = día de la semana }
CLASES DE CONJUNTOS
Según el número de elementos que conforman un
conjunto, éstos se clasifican en:
Universal o referencia.
§ Vacío.
§ Unitario.
§ Finito.
§ Infinito.
1. Conjunto universal o
referencia
El conjunto universal o referencia,
es el formado por un amplio número de elementos, como puede ser el conjunto de
los números naturales o por letras del abecedario. Estos conjuntos sirven de
base para crear más conjuntos.
Para representar que un conjunto es universal se
utiliza la vocal U mayúscula.
Ejemplo:
El conjunto formado por las letras del abecedario.
U = { letras del abecedario }
Del conjunto U se puede formar el
conjunto V de vocales y conjunto C de consonantes.
El conjunto
vacío es aquel que no tiene elemento alguno.
Ejemplos:
A = { }
El conjunto A no posee ningún elemento.
B = { números impares entre 5 y 7 }
No existe ningún numero impar entre los números 5 y
7.
Gráficamente:
Generalmente el conjunto vacío se representa
mediante un paréntesis { } (corchete sin elemento), o por el símbolo
.
Conjunto unitario
El conjunto
unitario es aquel que posee solamente un elemento.
Ejemplos:
1. El conjunto de números naturales mayores de 8 y
menores de 10:
C = { 9 }
El único elemento es el número 9.
. Conjunto de satélites naturales de la Tierra
S = { Luna }
El conjunto está formado por un solo elemento,
porque la Tierra solo posee un satélite natural, la Luna.
Un
conjunto es finito, cuando posee un comienzo y un final, en otras
palabras, es cuando los elementos del conjunto se pueden determinar o contar.
Ejemplos:
- Conjunto de números pares
entre 10 y 40:
R = { 10,12,14,16,18,20, 22, 24,
26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40 }
- Conjunto de las páginas de
un libro:
T = { páginas de un libro }.
V = { a, e, o, i, u }
Conjunto
infinito
El
conjunto es infinito, cuando posee un inicio pero no tiene fin.
Es decir, que la cantidad de elementos que conforman el conjunto no se puede
determinar.
Ejemplos:
- El conjunto de los números
naturales:
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10, 11, 12, 13,...}
El conjunto de los números naturales es infinito,
puesto que no es posible contar la totalidad de elementos (números) que
conforman el conjunto.
- El conjunto de los peces en
el mar:
P = { los peces en el mar }
Relaciones entre
conjuntos
1. INCLUSIÓN
Se dice que "A" está incluido en el conjunto "B",
cuando todo elemento de A, pertenece a "B". La inclusión
se simboliza por: "("
También se puede decir que A es subconjunto del
conjunto B. Se puede denotar por B(A, que se lee "B incluye,
contiene al conjunto A"
Ejemplo:
Si: P = {vacas}
M = {mamíferos}
Entonces se tiene:
Sean por ejemplo los conjuntos:
A = {a, b, c, d} B = {a, d}
C = {b, d, a, c} D = {a, c, e}
En este caso se observa las siguientes
inclusiones:
B (
A;
C (
A;
A (
C
En cambio los conjuntos "C" y "D" son incomparables,
porque ni "C" incluye a "D", ni "D" incluye a "C", es
decir:
D (
C;
C(
D
Hemos visto que pueden ocurrir al mismo tiempo las dos
inclusiones
C (
A y
A (
C, esto
quiere decir, que
A =
C.
2. CONJUNTOS IGUALES
Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos
elementos, su forma simbólica es:
A = B
Nótese que decimos los mismos elementos que no es
igual a decir el mismo número de elementos.
De la definición podemos inferir que: A = A (todo
conjunto es igual a sí mismo).
Ejemplo 01
Si: A = [1, 3, 7, 9, a, b} B = {a, b, 9, 3, 1,
7}
Entonces: A = B pues son los mismos elementos aunque
estén en diferente orden. Recuerde, no importa el nombre
dado al conjunto si no los elementos que lo forman.
Ejemplo 02
Si: C = {a, e, o, i, u} D = {a, e, o, 3, u}
Entonces: C?D porque a pesar de que cada conjunto tiene
cinco elementos (igual número de elementos) basta que
exista un elemento diferente para que ya no sean
iguales.
3. CONJUNTOS DIFERENTES
Dos conjuntos son diferentes si sus elementos no son
iguales.
Ejemplo:
4. CONJUNTOS DISJUNTOS
Dos conjuntos son disjuntos si no tienen ningún
elemento en común: es decir, todos los elementos de un
conjunto son diferentes a los elementos de otro
conjunto.
Ejemplo:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} B = {9, 8, 7, 6, 10}
En este caso podemos apreciar que ningún elemento
de A o B son los mismos a esto se denomina conjuntos
disjuntos.
5. CONJUNTO POTENCIA
Se llama así al conjunto formado por todos los
subconjuntos que es posible formar de un conjunto dado. Se
simboliza por
P. La notación
P(A), se lee:
"potencia del conjunto A". El número de subconjuntos que
es posible formar con los elementos de un conjunto es:
2n
siendo "n" el número de elementos integrantes del conjunto
dado.
Ejemplo:
B, formado por los elementos que estén simultáneamente en los
conjuntos A y B. Este conjunto, expresado por comprensión es:
